\wurzel{|xy|} diffbar in 0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 10.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo,
Ich will überprüsfen, ob die Funktion [mm] f(x,y)=\wurzel{|xy|} [/mm] defferenzierbar in (0,0) ist.
die allgemeine Definition für total differenzierbar lautet ja:
[mm] \limes_{x\rightarrowa}\bruch{||f(x)-(f(a)+M_a*(x-a)||}{||x-a||)}=0
[/mm]
für x,a [mm] \in R^2
[/mm]
[mm] M_a [/mm] ist ja der Gradient von f(x,y)
jetzt muss ich erstmal überprüfen, ob die Ableitungen in x bzw. y Richtung existieren.
das mache ich so:
[mm] \partial_x=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
[mm] \partial_y=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
das heißt ja beide existieren und sind an der Stele (0,0) =0
dann bedeutet das ja, dass der Gradient von f(x,y)=(0,0) ist
Also muss ich nur noch
[mm] \limes_{x\rightarrowa}\bruch{||f(x)-f(a)||}{||x-a||}=0
[/mm]
für x,a [mm] \in R^2 [/mm] prüfen
[mm] 0=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)-f(0,0)||}{||(x,y)-(0,0)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)||}{||(x,y)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|xy|}||}{||(x,y)||}
[/mm]
leider komme ich hier nicht weiter, da ich nicht weiss wie ich weiter machen soll.
Ein Bekannter von mir meinte, dass die Funktion nicht diffbar wäre weil die Partiellen Ableitungen nicht stetig wären in ener Umgebung von (0,0)
Lieder kann ich mit der Aussage nicht so viel anfangen.
Könnte mir das vielleicht einer erklären? Und ist der oben gezeigte Lösungsweg denn richtig?
Vielen Dank für eure Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne doch mal die Ableitungen aus, wenn du auf verschiedenen Wegen nach 0 läufst also etw y=x, y=2x usw.
anderer Weg:
x=rcost,y=rsint rechne so die GW.
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 10.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
ok, also laufe ich von einer gerade x=y an die Stelle (0,0) und das müsste ja funktionieren, da ich mich ja von jeder Richtung der 0 nähern dürfte...
$ [mm] 0=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)-f(0,0)||}{||(x,y)-(0,0)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)||}{||(x,y)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|xy|}||}{||(x,y)||} [/mm] $
mit x=y:
[mm] =\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|xx|}||}{||(x,x)||}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|x^2|}||}{\wurzel{2x^2}}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{x}{\wurzel{2}x}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\not=0
[/mm]
also ist es nicht differenzierbar!
Ok das verstehe ich! (falls ich das richtig gemacht habe)
Aber wie sehe ich das von Anfang an? Gibt es dafür einen Trick? Weil die partiellen Ableitungen existieren ja, oder habe ich da etwas falsch gemacht?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok, also laufe ich von einer gerade x=y an die Stelle (0,0)
> und das müsste ja funktionieren, da ich mich ja von jeder
> Richtung der 0 nähern dürfte...
>
> [mm]0=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)-f(0,0)||}{||(x,y)-(0,0)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||f(x,y)||}{||(x,y)||}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|xy|}||}{||(x,y)||}[/mm]
> mit x=y:
>
> [mm]=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|xx|}||}{||(x,x)||}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{||\wurzel{|x^2|}||}{\wurzel{2x^2}}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{x}{\wurzel{2}x}=\limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\not=0[/mm]
>
> also ist es nicht differenzierbar!
Es ist zwar richtig, aber ich bin mir nicht sicher ob du immer richtig gedacht hast. Gerade der Schritt von [mm] $\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 x^2}}$ [/mm] nach [mm] $\frac{x}{\sqrt{2} x}$. [/mm] Ich hoffe, du hast nicht [mm] $\sqrt{x^2} [/mm] = x$ benutzt, das stimmt naemlich nur fuer nicht-negative $x$...
> Ok das verstehe ich! (falls ich das richtig gemacht habe)
>
> Aber wie sehe ich das von Anfang an? Gibt es dafür einen
> Trick?
Nun, der uebliche bei Grenzwerten: man naehert sich aus verschiedenen Richtungen. Am einfachsten ist es mit $(x, y) = [mm] (x_0, y_0) [/mm] + r [mm] (\cos [/mm] t, [mm] \sin [/mm] t)$ (erstmal fuer $t = 0, [mm] \tfrac{\pi}{2}, \dots$, [/mm] dann allgemein). Wenn das immer funktioniert, evt. mit anderen Kurven ($(x, y) = [mm] (x_0, y_0) [/mm] + r [mm] (\cos^2 [/mm] t, [mm] \sin [/mm] t)$, etc.). Wenn auch das funktioniert, versucht man es zu beweisen. Wenn es nicht geht bekommt man dabei meist eine Idee woran es liegt. (Man kann auch schon nach den Geraden anfangen es zu beweisen.)
Und ein Tipp: es hilft oft, die Formel genauer anzuschauen. Du hast da [mm] $\frac{\sqrt{|x y|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ [/mm] stehen. Teilst du durch [mm] $\sqrt{|x y|}$, [/mm] so steht da [mm] $\frac{1}{\sqrt{|x/y| + |y/x|}}$. [/mm] Daraus kannst du schon viel ablesen: gehen z.B. $x$ und $y$ gleichschnell gegen 0, so kommt der Grenzwert [mm] $\frac{1}{\sqrt{1 + 1}}$ [/mm] heraus. Geht $x$ schneller als $y$ gegen 0, so geht es gegen [mm] "$\frac{1}{\sqrt{0 + \infty}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\infty} [/mm] = 0$". (So darf man es nicht aufschreiben, aber zum Grenzwert finden ist es eine gute Heuristik!) Damit existiert der Limes gar nicht und man kann sich darauf konzentrieren, Gegenbeispiele zu finden.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Ich hab noch etwas wichtiges vergessen. Oft hilft es sich erstmal etwas zu ueberlegen, wie die Funktion aussieht. Hier hat man $f(x, y) = [mm] \sqrt{|x y|}$.
[/mm]
Hier sieht man sofort: schaut man sich $g(x) = f(x, x) = [mm] \sqrt{|x^2|} [/mm] = [mm] \sqrt{x^2} [/mm] = |x|$ an, so ist dies bekanntermassen nicht diffbar in 0.
Wenn jedoch $f$ total diffbar ist, so muss auch $g$ diffbar sein (die Ableitung von $g$ in 0 ist bis auf konstantes Vielfaches eine Richtungsableitung von $f$ in 0, und solche existieren, wenn die Funktion total diffbar ist).
LG Felix
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